\documentclass[12pt]{beamer}

\usepackage{fontspec} %支持文章中字体配置
\usepackage{amsmath} %支持更多数学格式
\usepackage{xcolor,graphicx}


\setsansfont{WenQuanYi Zen Hei}

% \mode<beamer>{%
%   \usetheme[hideothersubsections,
%   right,width=22mm]{Goettingen}
% }

\title{第一章 线性代数基础}
\author[]{曹金}

\institute{UESTC}
%\titlegraphic{\includegraphics[width=20mm]{USTL}}

\date{2012}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{主要内容}
  \tableofcontents
\end{frame}

\section{线性空间}

\begin{frame}
  \frametitle{什么是线性空间?} \pause
  \begin{block}{例子}
    \begin{itemize}
    \item 由一个有向线段(向量)所确定的直线. \pause
    \item 由两个向量确定的平面.
    \end{itemize}
  \end{block} \pause
  将类似的概念推广引出线性空间的概念.
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{什么是线性空间?}

  \begin{block}{线性空间的定义} \pause
    数域F上一个线性空间V, 记为V(F), 是一个非空集合, 在集合内定义两种运算加法和数乘,运算封闭. \pause
    % \begin{enumerate}
    % \item 加法 "+": $\forall \alpha,\beta \in V,$ 有$\alpha + \beta \in V$
    % \item 数乘 "$\cdot$": $k \in F, \alpha \in V,$ 有$k \cdot \alpha \in V$
    % \end{enumerate} \pause
    并满足以下规则:\pause
    \begin{enumerate}
    \item 加法交换律
    \item 加法结合律
    \item 有加法单位元
    \item 有加法逆元
    \item 有数乘单位元
    \item (数)乘法结合律
    \item (数)乘法分配律
    \end{enumerate}
  \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{线性空间的例子}
  \begin{enumerate}
  \item 三维几何空间 \pause
  \item 在实数域上的所有n阶方阵 \pause
  \item n次多项式$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$
  \end{enumerate}
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{线性子空间} \pause
  \begin{block}{定义}
    有线性空间V(F), V中的非空子集W, 如果W内的元素对加法和数乘封闭, 则称W为V的线性子空间.
  \end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
%  \frametitle{基, 坐标, 维数} \pause
  \begin{block}{向量的线性组合} \pause
    设子集$S = \{v_1,v_2,\dots,v_k \} \subset V(F)$ \pause \\
    向量w由$v_1,v_2,\dots,v_k$构成: \\
    \begin{equation}
    w = \sum_{i=1}^k c_i v_i, c_i \in F
  \end{equation}
  \end{block} \pause

  \begin{block}{由向量张成的子空间} \pause
    所有S的线性组合构成的集合, 称为S张成的子空间.
  \end{block} \pause

  \begin{block}{例子} \pause
    三维空间中, 任意两个向量张成的平面
  \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{基, 坐标, 维数}
  \begin{block}{}
    设$S = \{v_1,v_2,\dots,v_k \} \subset V(F)$, 如果\\
    1)S中的向量是线性无关的, 2)且它们张成的子空间就是整个线性空间V(F), \pause \\
    换句换说, \\
    对于$\forall \alpha \in V, \text{都有} \alpha = x_1 v_1 + x_2 v_2 + \cdots + x_k v_k, x_i \in F$, 且$v_1, v_2,\dots,v_k$线性无关. \pause \\
    则S为V(F)的基, $x_1,x_2,\dots,x_k$为向量$\alpha$在基S下的坐标, 空间V(F)为k维.
  \end{block} \pause

  \begin{block}{说明:} \pause
    \begin{enumerate}
    \item 基$v_1, v_2,\dots,v_k$不需要正交, 只要求线性无关. \pause
    \item 维数表示线性空间需要多少个值来描述.
    \end{enumerate}
  \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{线性空间的意义}\pause
  \begin{itemize}
  \item 将具体的数, 函数或信号抽象为某个空间中的向量. \pause
  \item 直接对向量进行分析.\pause
  \item 向量和坐标.
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{例子}
  \begin{itemize} \pause
  \item 复平面 \pause
  \item 三维空间 \pause
  \item 十进制数的二进制表示 \pause
  \item DTFT \pause
  \item 幂级数
  \end{itemize}
\end{frame}


\section{线性变换}

\begin{frame}
  \frametitle{线性变换的概念} \pause
  \begin{block}{先看一个例子} \pause
    \begin{align}
      f: & R \rightarrow R \\
      & x \mapsto ax, a \in R 
    \end{align} \pause
    即: y = f(x) = ax\pause
  \end{block}
  \begin{block}{线性函数的特点}\pause
    \begin{enumerate}
    \item $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$\pause
    \item $f(\lambda x) = \lambda f(x)$
    \end{enumerate}
    
  \end{block} \pause
  
  现在, 我们把一元线性函数推广到n维线性空间, 得到线性变换的概念.

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{线性换变的概念}
  \begin{block}{定义}
    设V(F)是一个向量空间, 如果V(F)的一个变换$\sigma$满足条件:
    \begin{itemize}
    \item $\sigma (\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)$
    \item $\sigma (\lambda \alpha) = \lambda \sigma (\alpha)$
    \end{itemize}
    则称$\sigma$是一个线性变换.
  \end{block} \pause
  将线性系统联系到线性变换.
\end{frame} 

\begin{frame}
  \frametitle{线性系统和线性变换}
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{linearsystem}
    \caption{线性系统}
  \end{figure}
\end{frame}


\section{应用的实例}

\begin{frame}
  \frametitle{实例1} 
  \begin{block}{信号空间}\pause
    \begin{itemize}
    \item 复信号的内积
    \item 正交函数集
    \item 信号在正交函数集上的表示
    \item 基和坐标
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{实例2} 
  \begin{block}{DFT} \pause
    \begin{itemize} 
    \item DFT变换对
    \item 基和坐标
    \item DFT矩阵形式
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  讨论交流
\end{frame}

\end{document}
